KATA PENGANTAR
Atas
berkat Rahmat Allah yang Maha Kuasa yang telah memberikan nikmat kepada penulis
sehingga penulis dapat menyusun Makalah ini dengan baik guna melengkapi dan
memenuhi Tugas Mata
Pelajaran Matematika yang
berjudul “SEJARAH INTEGRAL”
Dengan
rasa bangga pula penulis sajikan Makalah ini dengan semaksimal mungkin agar
dalam penyajian Makalah ini benar-benar memuaskan, cukup memadai, mudah dipahami,
dan ada manfaat.
Walaupun
demikian penulis memaklumi bahwa Makalah yang penulis sajikan belum sempurna.
Meski penulis telah berusaha semaksimal mungkin, Penulis berharap semoga Makalah
ini dapat bermanfaat bagi para pembaca dan akan menambah pengetahuan.
Dalam
penyusunan Makalah Tugas Mata Pelajaran Matematika ini penulis berpedoman pada
teori yang dipelajari. penulis juga mengucapkan terimakasih kepada semua pihak
yang telah memberikan bantuannya kepada penulis dalam penyusunan Makalah Tugas
Mata Pelajaran Matematika.
Semoga
Makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua, dan atas segala kekurangannya penulis
mohon saran dan kritik yang dapat memperbaiki pembuatan Makalah lainnya.
Brebes, 17 Januari 2017
Penyusun
|
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN
JUDUL....................................................................................... ... i
KATA
PENGANTAR........................................................................................ ii
DAFTAR
ISI..................................................................................................... iii
BAB
I PENDAHULUAN................................................................................. 1
1.1
Latar Belakang........................................................................................... 1
1.2
Rumusan Masalah................................................................................... .. 2
1.3
Tujuan........................................................................................................ 2
1.4
Manfaat...................................................................................................... 2
BAB
II PEMBAHASAN................................................................................... 3
2.1
Sejarah Integral.......................................................................................... 3
2.2
Pengertian
Integral..................................................................................... 5
2.3
Integral Tak
Tentu..................................................................................... 5
2.4
Integral
Tertentu........................................................................................ 7
2.5
Kaidah integral........................................................................................ .. 8
2.6
Konsep-konsep integral........................................................................... .. 9
2.7
Cara menghitung integral........................................................................ 10
BAB
III PENUTUP......................................................................................... 12
3.1
Kesimpulan.............................................................................................. 12
3.2
Saran........................................................................................................ 12
DAFTAR
PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Kalkulus (Bahasa
Latin: calculus, artinya "batu kecil" untuk menghitung) adalah cabang
ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga.
Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu
mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan
persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam
bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai
masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.
Kalkulus memiliki
dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan
melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju
pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi
dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.
Sejarah
perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman
kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa
pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan
dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi
utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir
(c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung,
Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang
menyerupai kalkulus integral
|
Matematika
merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal, dimana matematika ini
memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembangan
penalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan,
pengukuran dan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda
fisika. Matematika secara praktis mendaji salah satu kegiatan manusia sejak
adanya rekaman tertulis.
1.2
Rumasan Masalah
1.
Bagaimana sejarah integral?
2.
Apa yang dimaksud dengan integral?
3. Apa yang dimaksud dengan integral tak tentu?
4. Apa yang dimaksud dengan integral tertentu?
1.3
Tujuan
1. Untuk mengetahui
sejarah integral
2. Untuk mengetahui pengertian
integral
3.
Untuk mengetahui
integral tak tentu
4.
Untuk mengetahui
integral tertentu
1.4
Manfaat
1. Siswa dapat
mengetahui sejarah integral
2. Siswa dapat
mengetahui pengertian integral
3.
Siswa dapat
mengetahui integral tak tentu
4.
Siswa dapat
mengetahui integral tertentu
BAB II
PEMBAHASAN
2.1
Sejarah Integral
Sebelum
membahas tentang integral maka kita harus mengenal sejarah perkembangannya terlebih dahulu. Mengenai sejarah
integral tak akan pernah kita lepas dari kalkulus, maka perlu kita membahas
tentang sejarah perkembangan kalkulus.
Pada
zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil
takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk
persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada
abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang
sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema
Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen)
menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat
empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu
metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat
penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang
Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil
yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama
dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala,
menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.
Hitung integral merupakan metode matematika
dengan latar belakang sejarah penemuan dan pengembangan yang agak unik. Metode
ini banyak di minati oleh para ilmuwan lain di luar bidang matematika. Beberapa
ilmuwan yang telah memberikan sumbangan terhadap penemuan dan pengembangan
metode matematika hitung integral ini, di antaranya adalah:
1.
Archimedes (287-212
SM),
seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse, Yunani. Pada abad kedua
sebelum masehi, Archimedes telah
menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan
volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen
parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide
penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.
2.
Isaac Newton
(1642-1727 M), seorang matematikawan sekaligus fisikawan
dari Inggris. Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam
kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah
menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun
konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah
lebih dahulu diketahui, tetapi I Newton
dan Leibniz merupakan
dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan
hubungan yang erat antara antiderivatif
dengan intagral tertentu. Hubungan
ini dikenal dengan Teorema Dasar
Kalkulus.
3.
Gottfried wilhelm
Leibniz (1646-1716 M), seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan
serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik,
geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan
bersama Newton, Leibniz juga
terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi
turunan dan lambang ∫ bagi
integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial
dan Hitung Integral.
4.
George Friedrich
Bernhard Riemann (1826-1866 M), seorang matematikawan dari
Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering
disebut sebagai Integral Riemann.
2.2
Pengertian Integral
Integral
dapat di artikan sebagai menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di
mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang
berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ‘ ∫ ’ .
2.3
Integral Tak Tentu
Integral tak tentu atau antiderivatif
adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu
fungsi baru. fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel), atau
batas atas dan batas bawah sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan
fungsi tak tentu ini disebut integral tak tentu.
Adapun
beberapa aturan yang dapat digunakan dalam penyelesaian integral:
· 
· 
· 
· 
Integral Tak Tentu dari
Fungsi Trigonometri
Untuk merancang aturan
integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri, perlu diingat kembali
turunan fungsi – fungsi trigonometri sebagaimana diperhatikan dalam table
berikut:
Dengan menggunakan aturan integral tak tentu yang
mempunyai sifat bahwa:
F’(x) = f(x) dan turunan fungsi-fungsi trigonometri
dalam table di atas, maka integral tak tentu dari fungsi-fungsi trigonometri
dapat dirumuskan sebagai berikut :
Sedangkan aturan integral tak tentu dari
fungsi-fungsi trigonometri dalam variabel sudut ax+b dapat dirumuskan sebagai
berikut :
Dalam penyelesaiannya integral tak tentu memiliki tiga cara
penyelesaian, yaitu:
1.
Penyelesaian Cara Subtitusi
Integral subtitusi pada prinsipnya sama dengan integral
pemisalan. Prinsip integral Subtitusi ada 2 yaitu salah satu bagian dimisalkan dengan u ,sisanya yang lain
(termasuk dx) harus diubah dalam du.
Bentuk umumnya : 
Misal u = g(x) dan du = g’(x) dx, didapat
Contoh
:
2.
Integral Parsial
Integral
parsial atau pengintegralan sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasil
kali. Disebut Integral Parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi
turunan sebagian operasi Integral.
 |
Bentuk
rumus:
Bagian u
dikerjakan operasi turunan dan bagian dy dikerjakan operasi integral, dengan
bentuk 
lebih
sederhana dari bentuk 
.
lebih
sederhana dari bentuk .
Contoh:
2.4
Integral Tertentu
Pengertian atau konsep integral tentu
pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz. Namun pengertian secara lebih
modern dikenalkan oleh Riemann.
Integral tentu adalah proses
pengintegralan yang digunakan pada aplikasi integral. Pada beberapa aplikasi
integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batas
inilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai
integral tertentu. Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki
batas, maka pada integral tertentu ada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang
menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta ) pada setiap hasil integral
dan menghasilkan nilai tertentu.
Secara umum integral tentu dari sebuah
fungsi dengan batas tertentu dapat dirumuskan sebagai berikut :
2.5
Konsep
Integral
Integral
adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan
bersama dengan inversnya yaitu diferensiasi adalah satu dari dua operasi utama
dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam
diferensiasi di mana matematikawan harus berpikirbagaimana
menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Integral
juga merujuk pada antiturunan, mis. sebuah fungsi F memiliki turunan yaitu
fungsi f maka fungsi F adalah antiturunan dari fungsi f. Integral dilambangkan
dengan ∫ dan integral terdiri dari integral tentu dan taktentu.
Integral tentu dinotasikan sebagai:
, dimana f adalah suatu fungsi dari
variabel x dengan interval [a, b]. Integral tentu tersebut didefinisikan
sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y
dan garis vertikal x = a dan x = b, dengan area yang berada di
atas sumbu-x bernilai positif dan area yang berada dibawah sumbu-x
bernilai negatif. Area tersebut diilustrasikan seperti pada gambar dibawah ini.
Integral tak tentu dinotasikan
sebagai:
, dimana f
adalah suatu fungsi dari variabel x tetapi f tidak dibatasi pada suatu interval
tertentu seperti pada pada integral tentu.
Prinsip-prinsip
dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried
Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka
kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah
fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], maka,
jika antiturunan F dari f diketahui, maka integral tertentu dari f pada
interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:
2.6
Kaidah-kaidah
Integrasi tak Tentu
1.
Formula pangkat
Contoh : 
2.
Formula Logaritmik
Contoh : 
3.
Formula eksponensial
Contoh : 
4.
Formula penjumlahan
Contoh : 
5.
Formula substitusi
= substistusi bagi 
Latihan :
(2).
(4).
(5).
(6).
2.7
Cara Menghitung
Integral
Ø Cara
Subtitusi
Cara subtitusi pada integral dilakukan
apabila satu bentuk integral tidak dapat langsung diselesaikan dengan
menggunakan rumus-rumus dasar integral. Integral bentuk ini terlebih dahulu
diubah menjadi bentuk integral yang dapat diselesaikan dengan rumus integral,
yaitu dengan cara mensubtitusikan variabel baru, yaitu dengan mensubtitusikan u = f
(x).
ʃ f(x)n
d[f(x)] = ʃ un du = 
un-1 + c,
dengan n ≠ 1
un-1 + c,
dengan n ≠ 1
Contoh :
Tentukan integral dari ʃ 6x2
(2x3 - 4)2 dx
Misal u = 2x3 – 4 → du = 6x2 dx
dx = 
Sehingga, ʃ 6x2 (2x3 - 4)2 dx
= 6x2u4
= u2 du = 
u5 = (2x3
- 4)5 + c
u5 = (2x3
- 4)5 + c
Ø Cara
Parsial
Cara parsial digunakan apabila bentuk suatu integral tidak dapat
diselesaikan dengan menggunakan rumus-rumus dasar integral dan dengan cara subtitusi.
Menghitung integral parsial didefinisikan sebagai berikut.
ʃ u dv
= uv - ʃ v du
Contoh :
Tentukanlah ʃ x
Misal u = x
→ du = dx
dv
= 
→ v = ʃ dx
→ v = ʃ dx
= ʃ (2 + x)1/2
d(2 + x)
= 
(2 + x)3/2 + c
(2 + x)3/2 + c
Sehingga, ʃ x = x • (2 + x)3/2
- ʃ (2 + x)3/2
dx
= x • (2 + x)3/2
- ʃ (2 + x)3/2
dx
= x (2 + x) - ʃ (2 + x) d(2 + x)
x (2 + x) - ʃ (2 + x) d(2 + x)
= x (2 + x) - • 
(2 + x)5/2
+ c
x (2 + x) - • (2 + x)5/2
+ c
= x (2 + x) 3/2 - 
(2 + x)5/2
+ c
x (2 + x) 3/2 - (2 + x)5/2
+ c
BAB III
PENUTUP
3.1. Kesimpulan
Integral merupakan salah satu cabang ilmu matematika.
Integral adalah Integral dapat di artikan sebagai menyusul ditemukannya masalah dalam
diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan
masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ‘
∫ ’ . Integral terbagi atas integral tertentu dan integral tak tentu. Integral
tak tentu memiliki tiga cara dalam penyelesaiannya yaitu, cara subtitusi, dan
integral parsial. Pada integral tertentu proses pengintegralan yang digunakan
pada aplikasi integral. Dengan konsep integral kita dapat menentukan luas
daerah dan volume benda putar. Dalam kehidupan sehari – hari, integral memiliki
beraneka macam manfaat baik dalam bidang ekonomi, teknologi, fisika,
matematika, maupun bidang lain dalam kehidupan.
3.2. Saran
Penguasaan
mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik juga
berfungsi membentuk kompetensi program keahlian . Dengan mengajarkan Matematika
khususnya dalam hal integral diharapkan peserta didik dapat menerapkannya dalam
kehidupan sehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan
pada tingkat yang lebih tinggi. Namun, kebanyakan dari peserta didik
kebingungan dalam menyelesaikan persamaan – persamaan integral, sehingga diharapkan
untuk pendidik dapat menjelaskan konsep integral dengan metode yang lebih mudah
untuk dimengerti peserta didik.
DAFTAR PUSTAKA
Dibuat pada hari : Selasa, 17 Januari 2017
Pukul :
16.50 WIB.
http://dwiyanto-2015.blogspot.co.id/2015/01/makalah-kalkulus.html
http://trilito.blogspot.co.id/2016/01/makalah-integral.html
http://abang-sahar.blogspot.co.id/2013/02/makalah-kalkulus.html
Sukino.
2007. Matematika SMA. Jakarta :
Erlangga
Konsep menghitung
luas daerah dengan integral. (www.terampilmatematika.blogspot.com, diakses tanggal
16 Desember 2014)
No comments:
Post a Comment